( = Lorsque l’espérance mathématique est négative (E < 0 E < 0), cela signifie qu’en moyenne, le joueur perdra de l’argent à chaque essai. ⋅ F ESPERANCE MATHEMATIQUE I.Définition et calcul de l'espérance mathématique d'une VA . y 0 φ ) α = xn) Dans ce cas une variable aléatoire peut trés bien ne = 3 1 u X On peut donc interpréter l'espérance comme la valeur moyenne que l'on peut "espérer" obtenir en répétant une exprérience aléatoire un nombre de fois assez grand. = ( P Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite : L'espérance mathématique de X est E\left(X\right)=0 (loi centrée) ; La variance de X … ∞ ∫ F L’espérance mathématique d’une: ou . pas avoir d'espérance mathématique. ] ] {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (X\geq k)\quad {\textrm {et}}\quad \mathbb {E} [X^{\alpha }]=\sum _{k\geq 1}\left(k^{\alpha }-(k-1)^{\alpha }\right)\mathbb {P} (X\geq k)} P = f d Il faudra ensuite soustraire le carré de l’espérance. X ( [ 10 E = d + Pour la variance, tu peux calculer l’intégrale de x²f(x) sur [2 ;4] en utilisant une méthode analogue. ) En théorie des probabilités, l'espérance mathématiqued'une variable aléatoire réelleest, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. 1 ( ⋅ ∑ X c ( = 0 ) ∑ ∑ ( b ∑ − φ ) 1 | p Propriétés. [ E ( {\displaystyle \mathbb {E} \left(\varphi (X)\right)=\sum _{i=1}^{n}\varphi (x_{i})p_{i}.}. . {\displaystyle S={\frac {ap+bq}{p+q}}} x ) ∫ ) {\displaystyle \mathbb {E} [\,{\text{Gain}}_{M}]=-M\times {\frac {36}{37}}\ +35M\times {\frac {1}{37}}\approx -0,027M.} Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0,6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0,33. p1 Il est probable que vous refuserez de jouer. × Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, tandis que le gain – si gain il y a – sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. Y φ φ = . , ) Ω = 6 = α . x + ≡ ( = Afficher les propriétés Répondre. i E ) L’espérance mathématique d’une va-riable aléatoire 1 Les variables aléatoires étagées. ) ⋅ ( ( ∫ 1 ∞ > . ⋯ φ {\displaystyle (\Omega ,\,{\mathcal {E}},\,\mathbb {P} )\,} E ou d X Dans le cas où la variable aléatoire possède une densité de probabilité, l'espérance est la moyenne des valeurs pondérées par cette densité. = Remarque On a également E ( … P 027 Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. S E + Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est donc pas approprié. Cette propriété permet de déterminer l’espérance de X + Y simplement à l’aide de celles de X et Y (donc sans la connaissance de la loi de probabilité de X + Y). Le problème tient justement sur ce « en moyenne » : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent pour participer à un grand nombre de parties. , y , {\displaystyle \phi _{X}(\theta )=\mathbb {E} \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(i\theta X)^{k}}{k! Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. . . E φ X }, E [ {\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mathbb {E} \left(\mathbb {E} (X|Y)\right).}. L'espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins très grandes à défaut d'infinies. L'espérance joue un rôle important dans un grand nombre de domaines, comme dans la théorie des jeux pour minimiser les risques, en théorie du signal ou en statistique inférentielle où un estimateur est dit sans biais si son espérance est égale à la valeur du paramètre à estimer. E(X). ) Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. = P(X Il établit que, si dans un jeu, on a p chances de gagner la somme a pour q chances de gagner la somme b, il faut miser : ( { Propriétés de l'espérance mathématique : si X est une variable aléatoire à valeur positive, alors E(X) 0. P Poincaré aurait pesé sur une grande période le pain acheté chez son boulanger et aurait trouvé que son poids moyen était largement inférieur à 1 kg. X ( Ainsi, pour une variable aléatoire suivant cette loi, l'espérance est alors m 1 = (a + b)/2 et la variance est m 2 − m 1 2 = (b − a) 2 /12. ( = . ⋯ E ≠ 2 = , pour que le jeu soit équitable. En pratique : Quelles sources sont attendues ? . Il n'existe pas toujours d'espérance pour une variable aléatoire. ) 0 un nombre fini de valeurs x1 x 1 p ( ) : ϕ q + En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Variable aléatoire discrète ne prenant qu'un nombre fini , p2 ) Cette somme converge vers ln(2) ≃ 0,69315. Y e R Ainsi, au cours d'un seul lancer de dé, chaque face a normalement une chance sur 6 d'apparaître et il est difficile de prédire le résultat moyen sur trois lancers de dé. k x ) de valeurs : ∞ Y X X x Il imagine ainsi un jeu de pile ou face et un pot commun de 64 pistoles, le premier joueur à voir apparaître trois fois la face qu'il a choisie remporte la mise. = ≥ {\displaystyle \mu =\int x\,f (x)\,\mathrm {d} x\,} La variance d'une variable aléatoire continue X peut aussi se calculer de la façon suivante : V ( X ) = ∫ x 2 f ( x ) d x − μ 2. P ∞ La moyenne des nombres obtenus au cours de ces nombreux lancers s'approche alors de y ) Dans l'expression intégrale de = ) ( φ Une martingale est un type de processus stochastique (c'est-à-dire aléatoire) dynamique, tel que son espérance mathématique à l'instant dépend de l'information disponible à une certaine date , dénotée : (|) = (avec ≤). 1 ) X En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. y Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulterla bibliothèque virtuelle. Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici. ⋅ Si X représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 avec un dé cubique, on démontre que E(X) = 6 ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. ( ( ( X 37 Dans le cas où une variable aléatoire peut prendre les valeurs xi associées aux probabilités pi, la moyenne arithmétique est appelée espérance mathématique m ou E(X) : Car ∑ (pi) = 1 On montre les propriétés … = L'espérance d'une variable aléatoire constante est égale à cette constante ; par exemple, si, La notion de prime de risque appliquée à l'espérance mathématique fut en, L'espérance mathématique, comme d'autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d'évaluation en. ∞ 2 Propriétés : Loi normale 2 X˜N 01; 3 N 01, EX = 0 = =m 0 4 N 01, VX = 1 2 = 1 4 P 1 96,– X 1 96, 0 95,= PX 0 PX 0 PX 0 PX 0 1 2 = = = = ---PX U = PX U PX U = = =PX U 1 – PX U 1 – PX U ≥ x }, qui signifie que {\displaystyle \varphi \circ X} Nous donnons dans le théorème qui suit quelques propriétés permettant de simplifier le calcul de l'espérance conditionnelle : Théorème - Règles de calcul des espérances conditionnelles. R La notion d'espérance est popularisée par Christian Huygens dans son Traité du hasard de 1656 sous le nom de « valeur de la chance ». S {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=c\,\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dotsb \right).} à condition que cette somme soit absolument convergente. = k y {\displaystyle m=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3,5.} = k = x2) P ) 10 Savoir Notations : On écrit : . ...... xn avec les probabilités : b x Les 48 pistoles que Pascal propose de donner au joueur ayant misé sur P correspondent de fait à son espérance de gain : si la partie s'arrête au quatrième coup, ce joueur a une chance sur deux de gagner 64 pistoles (si la pièce tombe sur P) et une chance sur deux de gagner seulement 32 pistoles (si la pièce tombe sur F et que le jeu s'interrompt). {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} Exemple : Le jeu de la roulette française consiste à lancer une petite bille sur une roulette contenant 37 cases. . est une fonction de y (en fait une variable aléatoire). {\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} \mathbb {P} (\omega )=\int _{\mathbb {R} }x\mathrm {d} \mathbb {P} _{X}(x).} 1 y X ) 5. L'espérance sert donc à prévoir la valeur moyenne obtenue pour la variable que l'on mesure si l'expérience est renouvelée un très grand nombre de fois. Pascal ne parle pas de probabilité ni d'espérance de gain mais son idée intuitive reste d'associer un gain à une chance de l'obtenir[2]. Logamaths.fr, est un site d'enseignement des mathématiques créé depuis le 1er octobre 2011, par M. Abdellatif Abouhazim, professeur de mathématiques au Lycée Fustel de … X On définit l'espérance mathématique d'une variable aléatoire comme étant la somme des produits des valeurs d'une variable aléatoire par leur probabilité. Elle apparaît souvent dans la peinture occidentale avec pour effet de donner un caractère romantique au...) qui conduisirent, à partir de son " paradoxe de Saint Petersbourg ", le mathématicien(Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée … = X ) X R Si vous souhaitez plus d'informations sur l'Espérance mathématique : cliquez ici. ) x M + f X ⋅ {\displaystyle X} ( {\displaystyle \mathbb {E} [X]} 3 1 b 0 Pourtant l'espérance de ce jeu vous est très favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36 ; on obtient donc : 1 y ( q X ) ) = ) En effet, la notion de hasard empêche de prédire le résultat d'une seule expérience aléatoire mais la loi des grands nombres permet de mieux maitriser le résultat si on exécute un grand nombre d'expériences aléatoires de même type. ) Un cas particulier important est celui des moments de X : pour En particulier, avec son frère, il s'intéresse à l'espérance de vie [4]. Le poids d'un pain annoncé à 1 kg, par exemple, peut fluctuer autour de cette valeur. ( + X + 37 ∑ α 1 = F 1 n {\displaystyle \varphi (0)=0} p suivant une loi normale 2 Elle se note ) ( d 1 « Je n'aime point, disait M., ces femmes impeccables, au-dessus de toute faiblesse. X dans Vocabulaire et notation : on dit couramment valeur moyenne pour espérance mathématique La variable aléatoire conditionnante X peut être à valeurs dans R où dans N. R . 0 En effet, le poids d'un pain est soumis à des fluctuations aléatoires mais son espérance est fixée par la loi. y , x ) Propriétés Caractérisation de l'espérance conditionnelle. − ) P + Variable discrète prenant un nombre fini de valeurs, Variable discrète prenant un ensemble dénombrable de valeurs, Généralisation : espérance d'une fonction d'une variable aléatoire, Cas d'une variable aléatoire réelle positive, Espérance mathématique et choix rationnel, Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux), Lettre de Pascal à Fermat du 29 juillet 1654, citée et analysée dans, fonction caractéristique d'une variable aléatoire, Van rekeningh in spelen van geluck/Du calcul dans les jeux de hasard, 1656-1657, Index du projet probabilités et statistiques, Test de Fisher d'égalité de deux variances, Test T pour des échantillons indépendants, Portail des probabilités et de la statistique, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Espérance_mathématique&oldid=173680274, Article manquant de références depuis août 2011, Article manquant de références/Liste complète, Portail:Probabilités et statistiques/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. P | la première égalité étant l'instance = Donc, le jeu est avantageux pour l'organisme qui offre le jeu. , Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. ( Espérance mathématique et choix rationnel. 1 en fonction de x En particulier les distributions à longue traîne comme la distribution de Cauchy, produisent des intégrales non convergentes et donc des espérances non définies. ) , | × X C’est un paramètre de dispersion qui correspond au moment centré d’ordre 2 de la variable aléatoire \(X\). ( = x1) E x Donc . ( + , on a d ( = x E . ). Y suivant une loi de Poisson de paramètre . Si les probabilités sont toujours sans dimensions, les espérances peuvent s'exprimer avec les mêmes unités physiques (mètres, kilogrammes, secondes, ampères), monétaires (euros) ou abstraites (points, jetons, buts) que les variables aléatoires ( Si X est une variable aléatoire positive ou nulle, alors si le coup suivant avait été P, le joueur ayant misé sur P aurait tout remporté et gagné 64 pistoles ; si le coup suivant avait été F, la partie aurait été équitable et l'interruption du jeu aurait conduit à distribuer 32 pistoles à chaque joueur. ) ) x x ) X Ainsi, une variable aléatoire est dite centrée si son espérance est nulle. − ∫ Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s'agit d'une moyenne pondérée par les probabilités d'apparition de chaque valeur. Espérance : indicateur de chance ou de risque moyen. {\displaystyle u\leq x} Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. = ∑ P x {\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{0}^{+\infty }\mathbb {P} (X\geq x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\mathbb {P} (X>x)\,\mathrm {d} x} = Si la bille s'arrête dans sa case, on lui rembourse 36 fois sa mise (son gain est alors de 35M =36M - M), sinon il perd sa mise (son gain est alors de -M = 0 - M). . ( ) ] On montre les propriétés suivantes : E(X+Y) = E(X) + E(Y) E(aX) = a E(X) , a = constante. ) a ) X x i [ ) X ) , x3, 1 | = ( 1 Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ». ≥ ⋅
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